这个问题来自具体数学第一章的一个作业题，由于资料太少，困扰了我很久，昨天终于想通了，所以想分享一下
这个问题的描述是这样的：
在一块奶酪上划出五道直的切痕，可以得到多少块奶酪？(在你划切痕时，奶酪必须保持在它原来的位置上，且每道切痕必定与三维空间中的一个平面相对应。)
这个问题简单来说，就是一块蛋糕切5刀最多可以得到几块蛋糕。(对了，还有个人要请我吃蛋糕的！)
经过大量的资料查询，最终发现这个问题是一个 Hyperplane Arrangements(超平面分割) 的问题，这里是三维平面，Richard P. Stanley在它的文章中提到了公式。
f_{n}(k) = \displaystyle\sum_{j=0}^n{k \choose j}其中f_{n}(k)为n维空间中切k刀可以得到的区域数。拿这个例子来说，不！我们还是切4刀吧！5刀实在是太让人困惑了
\begin{alignedat}{1}
f_{3}(4) &= {4 \choose 0} + {4 \choose 1} + {4 \choose 2} + {4 \choose 3} \\
&= 1 + 4 + 6 + 4 = 15
\end{alignedat}答案是15！就是说一块蛋糕切4刀最多可以得到15块蛋糕，你想到了吗？这里有一张来自维基百科的图片，可能对你有用(如果你真的很想知道是怎么切的，后面我们将给出更好的方法)：
好了，我们现在已经有一些直观的理解了，现在考虑，怎么样切才是最多的，为了便于找出规律，我们应该首先从更低维度的空间去探索。
首先，我们考虑零维空间：0维空间不管怎么切，都是一个区域，似乎没有什么用。
那么，一维度空间会是怎么样的呢？
一维空间就是说，在一条直线上，用5个点(这里是对应5刀)，能把线段分成几个区域，显然，只要任意两个点不重复，就可以得到最大值6。
现在，考虑二维空间
同样的，二维空间中就是说，在一个平面上，用5条直线可以可以把平面分成几个区域，这个也相当简单，只要任意三条直线不相交于同一点上，并且两两相交(没有平行的线)，就可以得到最大值16。
三维空间(就是说，在一个空间中，用5个平面可以将这个空间分成多少区域)我们可以猜测出一些类似的最大区域条件，尽管我们现在不能证明它：
- 任意两个平面不平行
- 任意三个平面交于一点
- 任意四个平面不相交于一点
我们考虑递归方程，就有：
f_{3}(5) = f_{3}(4)+f_{2}(4)因为在三维空间中切5刀等于先在三维空间中切4刀，也就是式子的第一部分f_{3}(4)，然后再切1刀，式子的第二部分f_{2}(4)。为什么是f_{2}(4)呢？这是因为后面这1刀将会与前面4刀相交，在该平面中产生4条交线，这4条交线在该平面内每划分一个区域就会在空间中多划分一个区域，并且只要这5个平面满足上面三维空间中最大区域的全部条件，就一定会满足二维空间中最大区域的条件，得到最大值。
现在我们就证明了上面三维空间最大区域的条件，并且，我们进行推广可以得到更加有用的东西：
f_{n}(k) = f_{n}(k-1)+f_{n-1}(k-1)当且仅当
- 任意两个n-1维空间不平行
- 任意n个n-1维空间交于一点
- 任意n+1个n-1维空间不相交于一点
使用数学归纳法很容易证明这一点，这里就不做证明了，如果把该递归式化简成封闭形式就可以得到Richard P. Stanley的公式。
